Với \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1,\) chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{1 +

Câu hỏi số 481336:

Vận dụng cao

Với \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1,\) chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{b}{{1 + {b^2}}} = \dfrac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481336

Phương pháp giải

Thế \(ab + a + b = 1\) vào vế trái để phân tích, sau đó sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{b}{{1 + {b^2}}} = \dfrac{a}{{ab + a + b + {a^2}}} + \dfrac{b}{{ab + a + b + {b^2}}}\\ = \dfrac{a}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{b}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{a\left( {b + 1} \right) + b\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2ab + a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {ab + a + b + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{ab + 1}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

Vậy ta cần chứng minh: \(2\left( {a + b} \right) = \sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = 2\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = {a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + 4ab - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Từ \(ab + a + b = 1 \Rightarrow ab - 1 = - \left( {a + b} \right) \Rightarrow {\left( {ab - 1} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + 4ab - 1 = 0\)

Vậy \(\left( * \right)\) đúng, ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link