Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) \(\left( {\angle BAC > 90^\circ } \right)\) nội tiếp đường tròn

Câu hỏi số 481337:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) \(\left( {\angle BAC > 90^\circ } \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) bán kính \(R,M\) là điểm nằm trên cạnh \(BC\left( {BC > CM} \right).\) Gọi \(D\) là giao điểm \(AM\) và đường tròn \(\left( O \right)\,\,\,\left( {D \ne A} \right),\) điểm \(H\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC,ED\) cắt \(BC\) tại \(N.\)

a) Chứng minh rằng: \(MA.MD = MB.MC\) và \(BN.CM = BM.CN.\)

b) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMD.\) Chứng minh rằng ba điểm \(B,I,E\) thẳng hàng.

c) Khi \(2AB = R,\) xác định vị trí của \(M\) để \(2MA + AD\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481337

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất của các đường phân giác ngoài, phân giác trong góc \(BDC\)

b) Phương pháp hình duy nhất: Chứng minh \(BI,BE\) cùng vuông góc \(AB\)

c) Chứng minh\(AM.AD = A{B^2}\) không đổi, từ đây sử dụng AM – GM tìm giá trị nhỏ nhất của \(2MA + AD\) và dấu bằng xảy ra

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng: \(MA.MD = MB.MC\) và \(BN.CM = BM.CN.\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CMD\) có:

\(\angle AMB = \angle CMD\) (đối đỉnh)

\(\angle ABM = \angle CDM\,\,\left( { = \dfrac{1}{2}sdcungAC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AMB \sim \Delta CMD\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow MB.MC = MA.MD\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

\(A\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC,\)\(E\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\) nên \(AE\) là đường kính của \(\left( O \right).\)

Vì \(AB = AC \Rightarrow DA\) là phân giác trong góc \(BDC \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}.\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(AD \bot EN\) (\(AE\) là đường kính) nên \(DN\) là phân giác ngoài góc \(BDC\) \( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}.\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{{NB}}{{NC}} \Rightarrow MB.NC = MC.NB.\)

b) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMD.\) Chứng minh rằng ba điểm \(B,I,E\) thẳng hàng.

Có \(\angle MDB = \angle ABC\) (do \(AB = AC\)) \( \Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right) \Rightarrow AB \bot IB\) mà \(AB \bot BE\)

Suy ra \(B,I,E\) thẳng hàng.

c) Khi \(2AB = R,\) xác định vị trí của \(M\) để \(2MA + AD\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì \(\Delta ABM \sim \Delta ADB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow AM.AD = A{B^2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: \(2MA + AD \ge 2\sqrt {2MA.AD} = 2\sqrt {2A{B^2}} = 2\sqrt {2.\dfrac{{{R^2}}}{4}} = R\sqrt 2 .\)

Dấu bằng xảy ra khi \(2AM = AD\)\( \Leftrightarrow M\) là trung điểm \(AD\)

\( \Leftrightarrow OM \bot AD\)\( \Leftrightarrow \Delta OAM\) vuông tại \(M\)\( \Leftrightarrow M\) là giao điểm của đường tròn đường kính \(OA\) với đoạn thẳng \(AD.\)

Vậy \(2MA + AD\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(R\sqrt 2 \) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường tròn đường kính OA với đoạn thẳng \(AD.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link