Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x{y^2} - \left( {x - 2} \right)\left(

Câu hỏi số 481757:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x{y^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {{x^4} + 2x + 1} \right) = 2{y^2}.\)

A. \(\left( { - 1;0} \right);\left( {0; \pm 1} \right);\left( {1; \pm 2} \right);\left( {3;t} \right)\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\,\)

B. \(\left( {1;0} \right);\left( {0; \pm 1} \right);\left( { - 1; \pm 2} \right);\left( {2;t} \right)\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\,\)

C. \(\left( { - 1;0} \right);\left( {0; \pm 1} \right);\left( {1; \pm 2} \right);\left( {2;t} \right)\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\,\)

D. \(\left( {1;0} \right);\left( {0; \pm 1} \right);\left( { - 1; \pm 2} \right);\left( {3;t} \right)\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\,\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481757

Phương pháp giải

Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó sử dụng phương pháp kẹp giá trị

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( {x;y} \right)\)là cặp số nguyên thỏa mãn phương trình đã cho

Khi đó \(x{y^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {{x^4} + 2x + 1} \right) = 2{y^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^4} + 2x + 1 - {y^2}} \right) = 0\).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\) Với \(x \ne 2\)thi phương trình trở thành \({x^4} + 2x + 1 = {y^2}\)

Nếu \(x > 2 \Rightarrow {x^4} < {x^4} + 2x + 1 = {y^2}\) \( < {x^4} + 2{x^2} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\)

Do \(x\)là số nguyên nên \({\left( {{x^2}} \right)^2},{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\)là hai số chính phương liên tiếp, suy ra không tồn tại y nguyên thỏa mãn bất đẳng thức trên. Vì vậy, trường hợp này phương trình không có nghiệm nguyên.

Nếu \(x \le - 2\) \( \Rightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\) \( < {x^4} + 2x + 1 = {y^2} < {x^4}\)

Lập luận tương tự như trên ta thấy trường hợp này phương trình cũng không có nghiệm nguyên

\(\begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0\\x = 0 \Rightarrow {y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 1\\x = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 2\end{array}\)

Vậy các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn phương trình gồm là \(\left( { - 1;0} \right);\left( {0; \pm 1} \right);\left( {1; \pm 2} \right);\left( {2;t} \right)\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\,\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link