Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các cạnh bên đều bằng \(a\). Chứng minh rằng khi các
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các cạnh bên đều bằng \(a\). Chứng minh rằng khi các cạnh bên vuông góc với nhau từng đôi một thi diện tích xung quanh sẽ lớn nhất.
Quảng cáo
Sử dụng định lý Py-ta-go, công thức tính diện tích xung quanh và bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó, \(SM\) là trung đoạn của hình chóp.
Đặt\(AB = x\).
\(S{M^2} = S{B^2} - {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\)\( \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \)
Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = \dfrac{{3x}}{2}.\dfrac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \)\( = \dfrac{{3x}}{4}\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\)ta được:
\(x.\sqrt {4{a^2} - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 4{a^2} - {x^2}}}{2} = 2{a^2}\)
Do đó, \({S_{xq}} \le \dfrac{3}{4}.2{a^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}.\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x = \sqrt {4{a^2} - {x^2}} \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} - {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2}\)
Khi đó, \(S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}\) (vì \({a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)).
\( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(S\) (định lý Py-ta-go đảo)
\( \Rightarrow SA \bot SB\) (định nghĩa)
Chứng minh tương tự, ta có:\(SB \bot SC;\,\,SC \bot SA\)
Vậy \({\rm{max}}\,{S_{xq}} = \dfrac{3}{2}{a^2}\) khi \(SA,\,\,SB,\,\,SC\) vuông góc với nhau từng đôi một (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
