Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 3\), \(BC = 2\), \(AD' = \sqrt 5 \). Gọi \(I\) là trung

Câu hỏi số 483251:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 3\), \(BC = 2\), \(AD' = \sqrt 5 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {AID'} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt {46} }}{{46}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {46} }}{{23}}\)

C. \(\dfrac{{3\sqrt {46} }}{{23}}\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt {46} }}{{46}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483251

Phương pháp giải

- Chứng minh \(d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng \(DM \bot AI\), trong \(\left( {DD'M} \right)\) dựng \(DH \bot D'M\,\,\left( {H \in D'M} \right)\), chứng minh \(d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right) = DH\).

- Sử dụng diện tích tam giác tính \(DM\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(DH\).

Giải chi tiết

Gọi \(O = AD' \cap A'D\) \( \Rightarrow O = A'D \cap \left( {AD'I} \right)\).

Do đó \(\dfrac{{d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right)}} = \dfrac{{OA'}}{{OD}} = 1 \Rightarrow d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng \(DM \bot AI\), trong \(\left( {DD'M} \right)\) dựng \(DH \bot D'M\,\,\left( {H \in D'M} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot DM\\AI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {DD'M} \right) \Rightarrow AI \bot DH\\\left\{ \begin{array}{l}DH \bot D'M\\DH \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {AD'I} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right) = DH\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{ADI}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABI}} - {S_{CDI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AB.BC - \dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}BC - \dfrac{1}{2}CD.\dfrac{1}{2}BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.3.2 = 3\end{array}\)

Lại có \({S_{ADI}} = \dfrac{1}{2}DM.AI \Rightarrow DM = \dfrac{{2{S_{ADI}}}}{{AI}} = \dfrac{{2.3}}{{\sqrt {A{B^2} + B{I^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }}\)

Áp dụng định lí Pytago: \(DD' = \sqrt {AD{'^2} - A{D^2}} = \sqrt {5 - 4} = 1\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DD'M\) có: \(DH = \dfrac{{DD'.DM}}{{\sqrt {DD{'^2} + D{M^2}} }} = \dfrac{{1.\dfrac{6}{{\sqrt {10} }}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{{18}}{5}} }} = \dfrac{{3\sqrt {46} }}{{23}}\),

Vậy \(d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {46} }}{{23}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.