Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 484942:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SD\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {AHK} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\) hoặc \(m > 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484942

Phương pháp giải

- Chứng minh \(SC \bot \left( {AHK} \right)\), từ đó suy ra \(\angle \left( {\left( {AHK} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SA} \right)\).

- Sử dụng tính chất hình vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SA\).

- Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Ta có \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có \(AK \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow AK \bot SC\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AH\\SC \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( 2 \right)\,\,\left( {gt} \right)\).

Do đó \(\angle \left( {\left( {AHK} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SA} \right) = \angle ASC = {30^0}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SAC\) ta có \(SA = AC.\cot {30^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 \).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 6 .{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.