Cho bất phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5}

Câu hỏi số 484943:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\dfrac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 \ge 0\) (\(m\) là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc đoạn \(\left[ {\dfrac{5}{2};4} \right]\)?

A. \(\left[ {\dfrac{7}{3}; + \infty } \right)\)

B. \(\left[ { - 3;\dfrac{7}{3}} \right]\)

C. \(\left( { - \infty ;\dfrac{7}{3}} \right]\)

D. \(\left[ { - 3; + \infty } \right)\) hoặc \(m > 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484943

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

- Đưa bất phương trình về dạng \(m \ge f\left( t \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\).

- Khảo sát tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

ĐKXĐ \(x > 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\dfrac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 \ge 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right)\). Vì \(x \in \left[ {\dfrac{5}{2};4} \right]\) nên \(x - 2 \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right] \Rightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Bất phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow m\left( {{t^2} - t + 1} \right) \ge {t^2} - 5t + 1\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 5} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right) - \left( {{t^2} - 5t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} - 2{t^2} + 2t - 5{t^2} + 5t - 5 - 2{t^3} + 10{t^2} - 2t + {t^2} - 5t + 1}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\end{array}\)

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = \dfrac{7}{3},\,\,f\left( 1 \right) = - 3\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\).

Vậy \(m \ge \dfrac{7}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.