Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên

Câu hỏi số 484944:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = 3\sin x + m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng:

A. \( - 6\)

B. \( - 5\)

C. \( - 8\)

D. \( - 10\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484944

Phương pháp giải

- Dựa vào đồ thị tìm hàm số \(f\left( x \right)\) tường minh.

- Đặt \(t = \sin x\). Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right]\). Đưa phương trình về dạng \(m = g\left( t \right)\) trên \(\left( {0;1} \right]\).

- Để phương trình \(m = g\left( t \right)\) có nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} g\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right]} g\left( t \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x\). Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba có 2 điểm cực trị \(x = - 1,\,\,x = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = a\left( {{x^2} - 1} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = a\dfrac{{{x^3}}}{3} - ax + C\end{array}\)

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = C = 1\\f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}a - a + C = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1\\a = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\).

Khi đó phương trình đã cho trở thành \(f\left( t \right) = 3t + m \Leftrightarrow {t^3} - 3t + 1 = 3t + m \Leftrightarrow m = {t^3} - 6t + 1 = g\left( t \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^3} - 6t + 1\) ta có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt 2 \notin \left( {0;1} \right]\).

Ta có \(g\left( 0 \right) = 1,\,\,g\left( 1 \right) = - 4\).

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm khi \( - 4 \le m < 1\).

\( \Rightarrow S = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\) nên tổng các phần tử của \(S\) bằng \( - 10\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.