Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 484947:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A = \sqrt {\dfrac{{a + bc}}{{1 + \sqrt {bc} }}} + \sqrt {\dfrac{{b + ca}}{{1 + \sqrt {ca} }}} + \sqrt {c + 2021} \) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 + \sqrt {51} }}{3}\)

B. \(\sqrt {2021} + 2\)

C. \(\sqrt {2021} \)

D. \(\sqrt {2022} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484947

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

Ta có \(a + bc \ge a + \left( {a + b + c} \right) \ge {a^2} + 2a\sqrt {bc} \ge {a^2}\left( {1 + \sqrt {bc} } \right)\).

\( \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{a + bc}}{{1 + \sqrt {bc} }}} \ge a\).

Chứng minh tương tự ta suy ra \(A \ge a + b + \sqrt {c + 2021} = 1 - c + \sqrt {c + 2021} \).

Xét hàm số \(f\left( c \right) = 1 - c + \sqrt {c + 2021} \) với \(c \in \left[ {0;1} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = - 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {c + 2021} }}\).

Vì \(c \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow c + 2021 \in \left[ {2021;2022} \right] \Rightarrow \sqrt {c + 2021} \in \left[ {\sqrt {2021;} \sqrt {2022} } \right]\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{2\sqrt {c + 2021} }} > 1 \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt {c + 2021} }} < 0\,\,\forall c \in \left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số \(f\left( c \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( c \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt {2022} \).

Vậy \(A \ge \sqrt {2022} \) hay \({A_{\min }} = \sqrt {2022} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.