Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm thỏa mãn \(xf'\left( {x - 1} \right) = \left( {x

Câu hỏi số 484946:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm thỏa mãn \(xf'\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) là:

A. \(4\)

B. \(6\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484946

Phương pháp giải

- Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tối đa 3 nghiệm phân biệt.

- Dựa vào giả thiết tìm các nghiệm của \(f'\left( x \right) = 0\), từ đó suy ra dạng của \(f'\left( x \right)\).

- Tính đạo hàm hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\), xác định các nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm và suy ra số điểm cực trị của hàm số.

Giải chi tiết

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tối đa 3 nghiệm phân biệt.

Theo giả thiết \(xf'\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)\).

Thay \(x = 0 \Rightarrow - 3f'\left( 0 \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\).

Thay \(x = 3 \Rightarrow 3f'\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 0\).

Thay \(x = 1 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = - 2f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( 1 \right) = 0\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,x = 1,\,\,x = 2\), do đó \(f'\left( x \right)\) có dạng

\(f'\left( x \right) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2}} \right) = 2a{x^3}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\), các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ.

Vậy hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.