Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {1;1;1} \right)\),

Câu hỏi số 485474:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {2;0;2} \right)\), \(C\left( { - 1; - 1;0} \right)\), \(D\left( {0;3;4} \right)\). Trên các cạnh \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) thỏa mãn \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} + \dfrac{{AD}}{{AP}} = 6\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\), biết khối tứ diện \(AMNP\) có thể tích nhỏ nhất?

A. \(8x + 20y - 22z + 11 = 0\)

B. \(8x + 20y - 22z - 11 = 0\)

C. \(8x - 20y - 22z + 11 = 0\)

D. \(8x + 20y + 22z - 11 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485474

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

Ta có \(\dfrac{{{V_{ABCD}}}}{{{V_{AMNP}}}} = \dfrac{{AB}}{{AM}}.\dfrac{{AC}}{{AN}}.\dfrac{{AD}}{{AP}} \le {\left( {\dfrac{{\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} + \dfrac{{AD}}{{AP}}}}{3}} \right)^3}\)

\( \Rightarrow {V_{AMNP}} \ge \dfrac{1}{8}{V_{ABCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{AMNP}}\) đạt GTNN bằng \(\dfrac{1}{8}{V_{ABCD}}\) khi \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = \dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AD}}{{AP}} = 2\).

\( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,AC,\,\,AD\).

Khi đó ta có \(M\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;3;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {4;10; - 11} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {4;10; - 11} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)\) cũng có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {4;10; - 11} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là: \(4\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) + 10\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right) - 11\left( {z - \dfrac{3}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 8x - 20y + 22z + 11 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.