Cho \(f\left( x \right)\) là ham đa thức bậc bốn có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên

Câu hỏi số 486200:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là ham đa thức bậc bốn có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết \(f\left( { - 2} \right) = - 2\), tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

A. \(\dfrac{{59}}{4}\)

B. \( - \dfrac{{43}}{4}\)

C. \(\dfrac{{13}}{4}\)

D. \( - \dfrac{3}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486200

Phương pháp giải

- Dựa vào đồ thị xác định dạng hàm số \(f'\left( x \right)\). Từ đó tính \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

- Dựa vào \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 2\\f\left( 1 \right) = 4\end{array} \right.\) tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính \(f'\left( x \right)\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - 1;2} \right]\) của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

- Tính \(f\left( { - 1} \right),\,\,f\left( 2 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- KL: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 2 \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 2 \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) nên \(f'\left( x \right)\) có dạng \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = a\left( {{x^3} - 3x - 2} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - 3\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + C} \right)\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 2 \Rightarrow a\left( {2 + C} \right) = - 2\\f'\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow - 4a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\C = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}{x^4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x\\f'\left( x \right) = - {x^3} + 3x + 2\end{array} \right.\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left[ { - 1;2} \right]\\x = 2 \in \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.\).

Có: \(f\left( { - 1} \right) = - \dfrac{3}{4},\,\,f\left( 2 \right) = 6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \( - \dfrac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.