Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh dài bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh

Câu hỏi số 486201:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh dài bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) theo \(a\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486201

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {M;\left( {BC'D} \right)} \right)\) sang \(d\left( {C;\left( {BC'D} \right)} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(I = CM \cap BD\) \( \Rightarrow CM \cap \left( {BC'D} \right) = I\).

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {BC'D} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {BC'D} \right)} \right)}} = \dfrac{{MI}}{{CI}} = \dfrac{{MD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {BC'D} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\left( {BC'D} \right)} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), trong \(\left( {CC'O} \right)\) kẻ \(CH \bot C'O\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot CO\\BD \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {CC'O} \right) \Rightarrow BD \bot CH\\\left\{ \begin{array}{l}CH \bot BD\\CH \bot C'O\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {BC'D} \right) \Rightarrow d\left( {C;\left( {BC'D} \right)} \right) = CH\end{array}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(CO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng HTL trong tam giác vuông \(CC'O\) ta có \(CH = \dfrac{{CC'.CO}}{{\sqrt {CC{'^2} + C{O^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( {BC'D} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.