Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình \(\log \left( {mx + \log {m^m}}
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình \(\log \left( {mx + \log {m^m}} \right) = {10^x}\) có đúng hai nghiệm thực \(x\) phân biệt.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Lấy 10 mũ hai vế, tìm hàm đặc trưng.
- Cô lập tham số \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = g\left( t \right)\).
- Lập BBT hàm số \(g\left( t \right)\) và tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Với \(m > 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log \left( {mx + \log {m^m}} \right) = {10^x}\\ \Leftrightarrow {10^{\log \left( {mx + \log {m^m}} \right)}} = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow mx + m\log m = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m\left( {x + \log m} \right) = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m\left( {\log {{10}^x} + \log m} \right) = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m\log \left( {m{{10}^x}} \right) = {10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m{10^x}.\log \left( {m{{10}^x}} \right) = {10^x}{.10^{{{10}^x}}}\\ \Leftrightarrow m{10^x}.\log \left( {m{{10}^x}} \right) = {10^{{{10}^x}}}\log \left( {{{10}^{{{10}^x}}}} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t\log t\,\,\left( {t > 1} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \log t + t.\dfrac{1}{{t\ln 10}} = \log t + \dfrac{1}{{\ln 10}} > 0\,\,\forall t > 1\)/
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên \(m{.10^x} = {10^{{{10}^x}}}\).
\( \Leftrightarrow {10^x} = \log \left( {m{{10}^x}} \right) = \log m + x\)\( \Leftrightarrow \log m = {10^x} - x = g\left( x \right)\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {10^x} - x\) ta có \(g'\left( x \right) = {10^x}\ln 10 - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {10^x} = \dfrac{1}{{\ln 10}} \Leftrightarrow x = \log \left( {\dfrac{1}{{\ln 10}}} \right) = - \log \left( {\ln 10} \right)\).
BBT:
Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.
\(\log m > \dfrac{1}{{\ln 10}} + \log \left( {\ln 10} \right) \Leftrightarrow m \ge 6,26\).
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + },\,\,m < 20 \Rightarrow m \in \left\{ {7;8;9;...;19} \right\}\).
Vậy có 13 giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
