Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z - 5 = 0\) và đường thẳng
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z - 5 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}\). Biết rằng trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) cùng đi qua \(A\left( {3; - 1;0} \right)\) và cùng cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng 3. Tính \(\sin \varphi \) với \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Chứng minh \(d \bot \left( P \right)\).
- Tìm tọa độ điểm \(H = d \cap \left( P \right)\).
- Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) , chứng minh \(HI = HK = 3\).
- Tính \(HA\).
- Tính \(\sin \angle IAH,\,\,\sin \angle KAH\), từ đó tính \(\sin \angle HAK\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z - 5 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\) nên \(d \bot \left( P \right)\).
Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}\\2x + y + z - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2y - 6\\y - 3 = z - 2\\2x + y + z - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {1;2;1} \right)\).
Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot {d_1}\\HI \subset \left( P \right) \Rightarrow HI \bot d\end{array} \right. \Rightarrow HI\) là đoạn vuông góc chung của \(d\) và \({d_1}\) \( \Rightarrow HI = 3\).
Chứng minh tương tự ta có \(HK = 3\).
Ta có \(HA = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \angle IAH = \dfrac{{HI}}{{AH}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}\\\sin \angle KAH = \dfrac{{HK}}{{AH}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \sin \angle HAK = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{7}\).
Vậy \(\sin \angle \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
