Biết rằng \(\int\limits_0^{\ln 4} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sqrt {{e^x}} }}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với

Câu hỏi số 486203:

Vận dụng

Biết rằng \(\int\limits_0^{\ln 4} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sqrt {{e^x}} }}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = a + b + c\).

A. \(T = - 2\)

B. \(T = 3\)

C. \(T = 2\)

D. \(T = - 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486203

Phương pháp giải

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{e^x}} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {{e^x}} \Rightarrow {t^2} = {e^x} \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \dfrac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \dfrac{{2tdt}}{{{t^2}}} = \dfrac{{2dt}}{t}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \ln 4 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\ln 4} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sqrt {{e^x}} }}} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{2dt}}{{t\left( {1 + t} \right)}}} = 2\int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)dt} = 2\left. {\ln \left| {\dfrac{t}{{t + 1}}} \right|} \right|_1^2\\ = 2\left( {\ln \dfrac{2}{3} - \ln \dfrac{1}{2}} \right) = 2\left( {\ln 2 - \ln 3 + \ln 2} \right) = 4\ln 2 - 2\ln 3\\ \Rightarrow a = 0,\,\,b = 4,\,\,c = - 2\end{array}\)

Vậy \(T = a + b + c = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.