Bất phương trình \({9^x} - 2\left( {x + 5} \right){3^x} + 9\left( {2x + 1} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là
Bất phương trình \({9^x} - 2\left( {x + 5} \right){3^x} + 9\left( {2x + 1} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \left[ {a;b} \right] \cup \left[ {c;} \right.\left. { + \infty } \right)\). Tính tổng \(a + b + c\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đặt \(t = {3^x},t > 0\). Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
\({t^2} - 2\left( {x + 5} \right)t + 9\left( {2x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t - 2x - 1} \right) \ge 0\).
+ Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}t - 9 \ge 0\\t - 2x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 9\\t - 2x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} \ge 9\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^x} - 2x - 1 \ge 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Xét bất phương trình \(\left( 2 \right)\):
Đặt \(g\left( x \right) = {3^x} - 2x - 1\) trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(g'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 2\).
Gọi \({x_0}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g'\left( x \right) = 0,{x_0} > 0\).
Khi đó, \(g\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 1\end{array} \right.\)
Mặt khác \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \ge 2\)
Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(x \ge 2\) \(\left( * \right)\)
+ Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}t - 9 \le 0\\t - 2x - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 9\\t - 2x - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} \le 9\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{3^x} - 2x - 1 \le 0\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Xét bất phương trình \(\left( 4 \right)\):
Đặt \(g\left( x \right) = {3^x} - 2x - 1\) trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(g'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 2\).
Gọi \({x_0}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g'\left( x \right) = 0,{x_0} > 0\).
Khi đó, \(g\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 4 \right) \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\)
Mặt khác \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow x \le 2\)
Kết hợp \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(0 \le x \le 1\) \(\left( {**} \right)\)
Kết hợp \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ {0;1} \right] \cup \left[ {2;} \right.\left. { + \infty } \right)\).
Vậy tổng \(a + b + c = 3\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
