Cho tam giác \(ABC\) có \(3\) góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), giả sử \(B,C\)

Câu hỏi số 487548:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có \(3\) góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), giả sử \(B,C\) cố định và \(A\) di động trên đường tròn sao cho \(AB < AC\) và \(AC < BC\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) cắt \(AC\) và \(BC\) lần lượt tại \(P,Q\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\) cắt \(AB,BC\) lần lượt tại \(M,N\).

a) Chứng minh rằng \(OM.ON = {R^2}\).

b) Chứng minh \(4\) điểm \(M,N,P,Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMN\) và \(CPQ\) cắt nhau tại \(S\) và \(T\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên đường thẳng \(ST\). Chứng minh rằng \(H\) chạy trên một đường tròn cố định khi \(A\) di động.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487548

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ số

b) Bài toán phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp

c) Bài toán phương tích – trục đẳng phương

Giải chi tiết

a) Vì tam giác \(OBC\) cân tại \(O\) nên \(\angle OBC = \frac{{180^\circ - \angle BOC}}{2} = 90^\circ - \angle BAC\)

Lại có \(\angle BMO = 90^\circ - \angle BAC \Rightarrow \angle BMO = \angle OBC \Rightarrow \Delta OBN \sim \Delta OMB\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OM}}{{OB}} \Rightarrow OM.ON = O{B^2} = {R^2}\).

b) Hoàn toàn tương tự câu a) ta có \(OQ.OP = O{C^2} = {R^2}\)

Xét hai tam giác \(ONQ\) và \(OPM\) có:

\(\frac{{ON}}{{OQ}} = \frac{{OP}}{{OM}}\)

\(\angle NOQ\) chung

Suy ra \(\Delta ONQ \sim \Delta OPM \Rightarrow \angle ONQ = \angle OPM \Rightarrow NQPM\) là tứ giác nội tiếp hay \(4\) điểm \(M,N,P,Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

c) Vì \(O{B^2} = O{C^2} = {R^2}\) nên \(O\) nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMN\) và \(CPQ\)

Mà \(ST\) chính là trục đẳng phương của hai đường tròn này, nên ta có \(O\) nằm trên đường thẳng \(ST\).

Vì \(O,B\) cố định mà \(\angle OHB = 90^\circ \) nên \(H\) chạy trên đường tròn đường kính \(OB\) cố định khi \(A\) di động.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link