a) Giải phương trình \(\frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1} = \sqrt {3x + 1} \). b) Giải hệ phương

Câu hỏi số 487547:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(\frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1} = \sqrt {3x + 1} \).

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + x - 12y = 12\\xy + 3{y^2} - x + 6y = - 3\end{array} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487547

Phương pháp giải

a) Nhân liên hợp giải phương trình

b) Đặt ẩn phụ giải hệ

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(x \ge - \frac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1} = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1} - \sqrt {3x + 1} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \frac{{x + 1 - 3x - 1}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{{2x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x + 1} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;(tm)\\\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x + 1} }} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {3x + 1} = 2\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {x + 1} .\sqrt {3x + 1} + 3x + 1 = 4\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} .\sqrt {3x + 1} = 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 7 }}{3}(tm)\\x = \frac{{ - 2 - 2\sqrt 7 }}{3}(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\frac{{ - 2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right\}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + x - 12y = 12\\xy + 3{y^2} - x + 6y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x\left( {y + 1} \right) - 12\left( {y + 1} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{\left( {y + 1} \right)^2} + x\left( {y + 1} \right) - 2x = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(x = 0 \Rightarrow y = - 1\), thỏa mãn.

Nếu \(x \ne 0\) từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow y + 1 \ne 0\), đặt \(y + 1 = kx\) với \(k \ne 0\), ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + k{x^2} - 12kx = 0\,\,\,\,\\3{k^2}{x^2} + k{x^2} - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + k{x^2} = 12kx\,\,\,\,\\3{k^2}{x^2} + k{x^2} = 2x\end{array} \right.\)

Chia vế cho về hai phương trình trên ta được: \(\frac{{1 + k}}{{3{k^2} + k}} = 6k\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 18{k^3} + 6{k^2} - k - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3k - 1} \right)\left( {6{k^2} + 4k + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ có tập nghiệm \(S = \left\{ {\left( {0, - 1} \right);\left( {3,0} \right)} \right\}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link