Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 9.\) Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 487551:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 9.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T = \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} - \frac{1}{{\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)} }}\).

A. (\frac{{77}}{{108}}\)

B. (\frac{{77}}{{109}}\)

C. (\frac{{77}}{{118}}\)

D. (\frac{{77}}{{208}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487551

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel, kết hợp bất đẳng thức AM – GM

Nhận xét: Đây là bài toán lấy từ đề thi chọn đội tuyển thi HSG quốc gia THPT của Bắc Ninh năm 2016

Giải chi tiết

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 9.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T = \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} - \frac{1}{{\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)} }}\).

Có \(\frac{1}{{3a + 4b + 5c}} = \frac{2}{{6a + 8b + 10c}} = \frac{2}{{\left( {a + 3b} \right) + 5\left( {a + c} \right) + 5\left( {b + c} \right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{{{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{{5\left( {a + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{{5\left( {b + c} \right)}} \ge \frac{{36}}{{\left( {a + 3b} \right) + 5\left( {a + c} \right) + 5\left( {b + c} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{2}{{\left( {a + 3b} \right) + 5\left( {a + c} \right) + 5\left( {b + c} \right)}} \le \frac{1}{{18}}\left[ {\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{5}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{5}{{4\left( {b + c} \right)}}} \right]\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{{ab}}{{a + 3b}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ab}}{{b + c}}\end{array}\)

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{{bc}}{{b + 3c}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{bc}}{{b + a}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{bc}}{{c + a}}\\\frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{{ca}}{{c + 3a}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ca}}{{c + b}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ca}}{{a + b}}\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}}\\ \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{{ab}}{{a + 3b}} + \frac{{bc}}{{b + 3c}} + \frac{{ca}}{{c + 3a}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{bc}}{{c + a}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + b}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {\frac{{bc}}{{b + a}} + \frac{{ca}}{{a + b}}} \right)\end{array}\)

Để ý \(\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{bc}}{{c + a}} = b\left( {\frac{a}{{a + c}} + \frac{c}{{c + a}}} \right) = b\)

Suy ra \(\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{{ab}}{{a + 3b}} + \frac{{bc}}{{b + 3c}} + \frac{{ca}}{{c + 3a}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {a + b + c} \right)\)

Lại có: \(\frac{1}{a} + \frac{9}{{3b}} \ge \frac{{16}}{{a + 3b}}\) (Cauchy – Schwarz)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{a + 3b}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{3}{b}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{a + 3b}} \le \frac{1}{{16}}ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{3}{b}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{a + 3b}} \le \frac{1}{{16}}\left( {b + 3a} \right)\end{array}\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{1}{{16}}\left( {b + 3a + c + 3b + a + 3c} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{12}}\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{3}{4}\end{array}\)

Ta sẽ đi giải quyết đại lượng \(P = \frac{1}{{\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)} }}\)

Có \(ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right) = \left( {ab + 2bc} \right)\left( {ab + 2ca} \right) \le \frac{{{{\left( {ab + 2bc + ab + 2ca} \right)}^2}}}{4} = {\left( {ab + bc + ca} \right)^2}\)

Lại có \(ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 27\)

Suy ra \(\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)} \le 27 \Rightarrow P \ge \frac{1}{{27}} \Rightarrow - P \le - \frac{1}{{27}}\)

Suy ra \(T \le \frac{3}{4} - \frac{1}{{27}} \Rightarrow T \le \frac{{77}}{{108}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(T\) là \(\frac{{77}}{{108}}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 3.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link