Cho các phương trình \({x^2} + ax + 3 = 0\)và \({x^2} + bx + 5 = 0\)với \(a,b\)là tham số a) Chứng minh

Câu hỏi số 487552:

Vận dụng cao

Cho các phương trình \({x^2} + ax + 3 = 0\)và \({x^2} + bx + 5 = 0\)với \(a,b\)là tham số

a) Chứng minh rằng nếu \(ab \ge 16\)thì trong hai phương trình, có ít nhất một phương trình có nghiệm

b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung \({x_0}.\)Tìm \(a,b\)sao cho \(\left| a \right| + \left| b \right|\)đạt giá trị nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487552

Phương pháp giải

a) Nếu \({\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\) thì ít nhất một trong hai \({\Delta _1},{\Delta _2}\) không âm

b) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Giải chi tiết

Ta có \({\Delta _1} = {a^2} - 12\)và \({\Delta _2} = {b^2} - 20\)

\({\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} + {b^2} - 32 \ge 2ab - 32 \ge 2.16 - 32 = 0\)

Suy ra ít nhất một trong hai \({\Delta _1},{\Delta _2}\) không âm.

Vậy ít nhất một phương trình có nghiệm.

Hai phương trình có nghiệm khi \({\Delta _1},{\Delta _2} \ge 0\)

Gọi \(m\)là nghiệm chung của hai phương trình đã cho. Khi đó, dễ thấy \(m \ne 0\) và \(a = - \frac{{{m^2} + 3}}{m},b = - \frac{{{m^2} + 5}}{m}.\)Từ đây ta sử dụng BĐT AM – GM ta có:

\(\left| a \right| + \left| b \right| = \frac{{{m^2} + 3}}{{\left| m \right|}} + \frac{{{m^2} + 5}}{{\left| m \right|}} = \frac{{{{\left| m \right|}^2} + 3}}{{\left| m \right|}} + \frac{{{{\left| m \right|}^2} + 5}}{{\left| m \right|}} = 2\left| m \right| + \frac{8}{{\left| m \right|}} \ge 2\sqrt {2.8} = 8\).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{4}{{\left| m \right|}} \Leftrightarrow m = \pm 2\). Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}a = - \frac{7}{2},b = - \frac{9}{2}\\a = \frac{9}{2};b = \frac{7}{2}\end{array} \right.\), thỏa mãn \({\Delta _1},{\Delta _2} \ge 0\).

Vậy \(\left( {a,b} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right);\left( { - \frac{7}{2}; - \frac{9}{2}} \right)} \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link