Cho phương trình \(3{x^2} - {y^2} = {23^n}\) với \(n\) là số tự nhiên a) Chứng minh nếu \(n\) chẵn

Câu hỏi số 487553:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(3{x^2} - {y^2} = {23^n}\) với \(n\) là số tự nhiên

a) Chứng minh nếu \(n\) chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\)

b) Chứng minh rằng nếu \(n\) lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487553

Phương pháp giải

a) Sử dụng đồng dư: Số chính phương khi chia cho \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\)

b) Dễ dàng chọn được nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {{{3.23}^k};{{2.23}^k}} \right)\) vì \({3.3^2} - {2^2} = 23\)

Giải chi tiết

Với \(n\) chẵn, giả sử tồn tại cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn phương trình đã cho. Vì \({23^n}\) là số chính phương không chia hết cho 3 nên \({23^n}\) chia 3 dư 1. Từ đó suy ra \({y^2}\) chia 3 dư 2, mâu thuẫn vì số dư của một số chính phương khi chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Vậy với \(n\) chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\).

Với \(n\) lẻ, đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Khi đó: \(3{x^2} - {y^2} = {23^{2k + 1}}\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - {y^2} = {23.23^{2k}}\left( * \right)\)

Chọn \(x = {3.23^k},y = {2.23^k}\), ta có:

\(3{x^2} - {y^2} = 3.{\left( {{{3.23}^k}} \right)^2} - {\left( {{{2.23}^k}} \right)^2} = {23.23^{2k}}\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)

Vậy nếu \(n\) lẻ thì phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link