a) Cho 2 số thực Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab + \frac{{{{\left( {a - b}

Câu hỏi số 487713:

Vận dụng cao

a) Cho 2 số thực Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}}\).

b) Cho hai số dương \(a,b\)thỏa mãn điều kiện \(a + b \le 3\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q = b - a + \frac{{20}}{a} + \frac{7}{b}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487713

Phương pháp giải

a) Phương pháp biến đổi tương đương

b) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM kết hợp kỹ thuật chọn điểm rơi

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}} \ge 0\), luôn đúng

Hoàn tất chứng minh.

b) Ta có:\(a,b > 0\)và \(a \le 3 - b\)

\(\begin{array}{l}Q = b - a + \frac{{20}}{a} + \frac{7}{b} \ge b - \left( {3 - b} \right) + \frac{{20}}{{3 - b}} + \frac{7}{b} = \left( {2b - 3} \right) + \frac{{20}}{{3 - b}} + \frac{7}{b}\\Q \ge \left[ {5\left( {3 - b} \right) + \frac{{20}}{{3 - b}}} \right] + \left( {7b + \frac{7}{b}} \right) - 18\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có \(\,\,Q \ge 2\sqrt {100} + 2\sqrt {49} - 18 = 16\)

Vậy GTNN\(\,Q = 16\), dấu bằng xảy ra khi \(a = 2,b = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link