Chứng minh rằng nếu \(p\) là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì \({p^2} - 1\) chia hết cho 24.

Câu hỏi số 487893:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487893

Phương pháp giải

Sử dụng tính chia hết của tích các số liên tiếp

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{p^2} - 1} \right) = \left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\)

Vì \(p\)là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(p\)là số lẻ

\( \Rightarrow \left( {p - 1} \right);\left( {p + 1} \right)\)là hai số chẵn liên tiếp nên \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right){\kern 1pt} \vdots 8\left( 1 \right)\)

\(\left( {p - 1} \right);p;\left( {p + 1} \right)\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3

Mà \(p\) không chia hết cho \(3\) (do \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\))\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {p - 1} \right) \vdots 3\\\left( {p + 1} \right) \vdots 3\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) và \(\left( {3,8} \right) = 1 \Rightarrow \left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\,\,hay\,\,\left( {{p^2} - 1} \right) \vdots 24\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link