Tìm \(m\)để phương trình \({x^2} - mx + m - 7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)sao cho \(S =

Câu hỏi số 487894:

Vận dụng

Tìm \(m\)để phương trình \({x^2} - mx + m - 7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)sao cho \(S = \frac{{2{x_1}{x_2} + 15}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(m = - 2\)

B. \(m = - 3\)

C. \(m = - 9\)

D. \(m = - 10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487894

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi – et

Giải chi tiết

Ta có

\(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 7} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} + 24 > 0,\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Vì \(x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2 > 0\) nên biểu thức \(S\) luôn xác định.

Theo Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 7\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \frac{{2{x_1}{x_2} + 15}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{4m + 2}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} = \frac{{\left( {4m + 2} \right) + \left( {{m^2} + 2} \right)}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} - \frac{1}{2} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} - \frac{1}{2}\)

Do \(\frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} \ge 0 \Rightarrow \,S \ge - \frac{1}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(m = - 2\).

Vậy \(m = - 2\) thì \(S\) đạt GTNN.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link