Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = 2{x^2}\)

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = - 2mx + m + 1\) (\(m\) là tham số).

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Xem lời giải

Câu hỏi:488681

Phương pháp giải

Ta chứng minh \(\Delta > 0,\,\,\forall m\)

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\): \(2{x^2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx - m - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Có \(\Delta ' = {m^2} + 2\left( {m + 1} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0,\,\forall m\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\), tìm \(m\) thỏa mãn đẳng thức \(\frac{1}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 66\).

Xem lời giải

Câu hỏi:488682

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi – ét

Giải chi tiết

Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\)ta có: \(2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 2m.\frac{1}{2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} = 0\), vô lý nên \(x = \frac{1}{2}\) không là nghiệm của phương trình, hay biểu thức \(\frac{1}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}}\) luôn xác định.

Theo hệ thức Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = - \frac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 66 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 66 \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2}}{{{{\left[ {4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]}^2}}} = 66\\ \Leftrightarrow \frac{{4{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2} - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2}}{{{{\left[ {4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]}^2}}} = 66\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 33{\left[ {4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4.\frac{{m + 1}}{2} + 2m + 1 = 33{\left( { - 4.\frac{{m + 1}}{2} + 2m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m + 3 = 33\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 5\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy \(m = 3\) hoặc \(m = - 5\).

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link