Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC = 2AB\). Gọi \(M\) là trung

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC = 2AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(A\), \(G\) là giao điểm của \(AD\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(G\) khác \(A\)), \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(AD\), \(F\) thuộc cạnh \(AD\) thỏa mãn \(CD = CF\) (\(F\) khác \(D\)). Chứng minh rằng:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Tứ giác \(DMCG\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi:488687

Phương pháp giải

Sử dụng giả thiết \(AC = 2AB\), chứng minh được \(\Delta AMD = \Delta ABD\), từ đó suy ra tứ giác \(DMCG\) là tứ giác nội tiếp đường tròn

Giải chi tiết

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta ABD\) có:

\(AM = AB\left( {do\,AC = 2AB} \right)\)

\(\widehat {MAD} = \widehat {BAD}\)

\(AD\) chung

\( \Rightarrow \Delta AMD = \Delta ABD \Rightarrow \widehat {AMD} = \widehat {ABD}\)

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {AGC}\)

Suy ra \(\widehat {AMD} = \widehat {AGC} \Rightarrow DMCG\) là tứ giác nội tiếp.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

\(A{M^2} = AD.AE\).

Xem lời giải

Câu hỏi:488688

Phương pháp giải

Sử dụng câu a) và áp dụng bài toán phương tích

Giải chi tiết

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

\(\widehat {EBF} = \widehat {ECF}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:488689

Phương pháp giải

Nhận thấy \(D\) là trung điểm của \(FA\), từ đó ta đi bắc cầu góc

Giải chi tiết

Có \(\widehat {ECF} = \widehat {AEC} - \widehat {AFC}\)

\(\widehat {EBF} = \widehat {AEB} - \widehat {AFB}\)

Vì \(CF = CD \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CDF} = \widehat {ADB} = \widehat {ADM} \Rightarrow MD\,{\rm{//}}\,CF\), mà \(M\) là trung điểm \(AC \Rightarrow D\) là trung điểm \(AF.\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), thế thì \(DI\,{\rm{//}}\,BF\) (tính chất đường trung bình)

Vậy \(\widehat {AFC} = \widehat {ADM} = \widehat {ADB}\,\,\left( 1 \right)\)

Dễ thấy \(\Delta ACG \sim \Delta ADB\), \(E\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của cặp cạnh tương ứng \(AG\) và \(AB\) nên ta có \(\Delta AEC \sim \Delta AID \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {AID}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có \(\widehat {ECF} = \widehat {AEC} - \widehat {AFC} = \widehat {AID} - \widehat {ADB}\,\,\left( 5 \right)\)

Vì \(A{M^2} = AD.AE \Rightarrow A{B^2} = AD.AE \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEB \Rightarrow \widehat {AEB} = \widehat {ABD}\,\,\left( 3 \right)\)

Lại có \(\widehat {AFB} = \widehat {ADI}\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta có \(\widehat {EBF} = \widehat {AEB} - \widehat {AFB} = \widehat {ABD} - \widehat {ADI}\,\,\,\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right),\left( 6 \right)\), để chứng minh \(\widehat {EBF} = \widehat {ECF}\), ta sẽ chứng minh \(\widehat {AID} - \widehat {ADB} = \widehat {ABD} - \widehat {ADI} \Leftrightarrow \widehat {AID} + \widehat {ADI} = \widehat {ABD} + \widehat {ADB} \Leftrightarrow 180^\circ - \widehat {DAI} = 180^\circ - \widehat {DAB}\), hiển nhiên đúng.

Vậy \(\widehat {EBF} = \widehat {ECF}\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link