Cho hàm số \(f\left( x \right) \ne 0\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 3}

Câu hỏi số 488801:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) \ne 0\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right){f^2}\left( x \right)\) và \(f\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2}\). Biết rằng tổng \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) + f\left( {2018} \right) = \dfrac{a}{b}\) với \(a \in \mathbb{Z}\) và \(b \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\dfrac{a}{b} < - 1\)

B. \(\dfrac{a}{b} > 1\)

C. \(a + b = 1010\)

D. \(b - a = 3029\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:488801

Giải chi tiết

Biến đổi \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right){f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 3\).

\( \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {2x + 3} \right)dx} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + 3x + C\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + 3x + C}}\), mà \(f\left( 0 \right) = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow C = 2\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = - \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = - \left[ {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}} \right]\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) + f\left( {2018} \right)\\\,\,\,\,\, = - \left( {\dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2018.2019}} + \dfrac{1}{{2019.2020}}} \right)\\\,\,\,\,\, = - \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{2018}} - \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2019}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\\,\,\,\,\, = - \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = - \dfrac{{1009}}{{2020}}\end{array}\)

Với điều kiện \(a,\,\,b\) thỏa mãn bài toán, suy ra \(a = - 1009,\,\,b = 2020 \Rightarrow b - a = 3029\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.