Cho số phức \(z\) thoả điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ

Câu hỏi số 488800:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thoả điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 3 - 4i} \right| + \left| {z - 5 - 6i} \right|\) được viết dưới dạng \(\dfrac{{\left( {a + b\sqrt {17} } \right)}}{{\sqrt 2 }}\) với \(a,b\) là các hữu tỉ. Giá trị của \(a + b\)là

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(7\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:488800

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\), \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Từ giả thiết \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\) dẫn đến \(y = x\). Khi đó \(z = x + xi\)

\(P = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 4} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \)

Sử dụng bất đẳng thức: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\). Ta có:

\(\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 6} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {{\left( {6 - x} \right)}^2}} \)

\(\sqrt {{{\left( {x - 1 + 6 - x} \right)}^2} + {{\left( {x - 2 + 5 - x} \right)}^2}} \ge \sqrt {34} \).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{x - 1}}{{6 - x}} = \dfrac{{x - 2}}{{5 - x}} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}\)

Mặt khác: \(\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 14x + 25} = \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - \dfrac{7}{2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{7}{2}\).

Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{{1 + 2\sqrt {17} }}{{\sqrt 2 }}\)

Khi đó \(a + b = 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.