Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật,\(AB = a,\,\) \(AD = 2a\sqrt 3 \). Cạnh bên SA

Câu hỏi số 489471:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật,\(AB = a,\,\) \(AD = 2a\sqrt 3 \). Cạnh bên SA vuông góc với đáy, biết tam giác \(SAD\) có diện tích \(S = 3{a^2}\). Tính khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SBD} \right)\) bằng

A. \(d = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)

B. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}\)

C. \(d = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{5}\)

D. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:489471

Giải chi tiết

Ta có \({S_{SAD}} = \dfrac{1}{2}SA.AD \Rightarrow 3{a^2} = \dfrac{1}{2}SA.2a\sqrt 3 \Rightarrow SA = a\sqrt 3 \)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Nên O là giao điểm của AC và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{CO}}{{AO}} = 1 \Leftrightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Kẻ \(AK \bot BD \Rightarrow SK \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAK} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SK\,\,;\,\,BD \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BD \bot AH\)

Do đó \(AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\)

Xét tam giác SAK vuông tại A có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}}\)

Mà tam giác ABD vuông tại A nên ta có \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}}\)

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{{17}}{{12{a^2}}}\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{2a\sqrt {51} }}{{17}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.