Cho $a,b$ là hai số dương. Chứng minh

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}$.

Xem lời giải

Câu hỏi:489985

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương

Giải chi tiết

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$, luôn đúng $\forall a,b > 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Hoàn tất chứng minh.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

$\sqrt{{{a}^{2}}-ab+3{{b}^{2}}+1}\ge \frac{1}{4}\left( a+5b+2 \right)$.

Xem lời giải

Câu hỏi:489986

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} - ab + 3{b^2} + 1} \ge \frac{1}{4}\left( {a + 5b + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16\left( {{a^2} - ab + 3{b^2} + 1} \right) \ge {\left( {a + 5b + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16\left( {{a^2} - ab + 3{b^2} + 1} \right) \ge {a^2} + 25{b^2} + 4 + 10ab + 4a + 20b\\ \Leftrightarrow 15{a^2} + 23{b^2} - 26ab - 4a - 20b + 12 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{a^2} - 4a + 2} \right) + \left( {10{b^2} - 20b + 10} \right) + \left( {13{a^2} - 26ab + 13{b^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a - 1} \right)^2} + 10{\left( {b - 1} \right)^2} + 13{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\end{array}$

(luôn đúng $\forall a,b>0$)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$

Hoàn tất chứng minh.

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức$P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + 3{b^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + 3{c^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + 3{a^2} + 1} }}$

Xem lời giải

Câu hỏi:489987

Phương pháp giải

Với gợi ý từ câu 1, kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

Giải chi tiết

Áp dụng câu trước ta có:

$\begin{array}{l}P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + 3{b^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + 3{c^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + 3{a^2} + 1} }}\\P \le \frac{4}{{a + 5b + 2}} + \frac{4}{{b + 5c + 2}} + \frac{4}{{c + 5a + 2}}\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\ge \frac{{{\left( 1+1+1+1+1+1+1+1 \right)}^{2}}}{a+5b+2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\ge \frac{64}{a+5b+2}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{a+5b+2}\le \frac{1}{16}\left( \frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2 \right)$

Hoàn toàn tương tự, ta có $\frac{4}{b+5c+2}\le \frac{1}{16}\left( \frac{1}{b}+\frac{5}{c}+2 \right);\frac{4}{c+5a+2}\le \frac{1}{16}\left( \frac{1}{c}+\frac{5}{a}+2 \right)$

Suy ra $P\le \frac{1}{16}\left( \frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}+6 \right)\Rightarrow P\le \frac{1}{16}\left( 6.3+6 \right)\Rightarrow P\le \frac{3}{2}$

Vậy GTLN của $P$ là $\frac{3}{2}$, dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link