Thực hiện các yêu cầu sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Giải phương trình nghiệm nguyên sau: ${y^2} + 2y = 4{x^2}y + 8x + 7.$

Xem lời giải

Câu hỏi:489982

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẹp

Giải chi tiết

$\begin{array}{l}{y^2} + 2y = 4{x^2}y + 8x + 7\\ \Leftrightarrow {y^2} + 2y\left( {1 - 2{x^2}} \right) - 8x - 7 = 0\end{array}$

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $y$, $x$ là tham số

Ta có $\Delta '={{\left( 1-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}+8x+7=4{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+8x+8=4\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2 \right)$

Nếu $x\ge 3$ thì ta có:

${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+2x+1>{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}$

$-2{{x}^{2}}+2x+2=-2\left( x\left( x-1 \right)-1 \right)<0$ (do $x\ge 3$) nên ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2<{{x}^{4}}$

Suy ra ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}<{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2x+2<{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}$

Nên $\Delta '$ không là số chính phương, khi đó không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình

Nếu $x<-1$, ta đặt $x=-a$ thì $a>1$. Khi đó $\Delta '=4\left( {{a}^{4}}-2{{a}^{2}}-2a+2 \right)$

Có $4\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}-2a+2 \right)-{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}=-8a+7<0$ (do $a>1$)

Lại có $4\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}-2a+2 \right)-{{\left( 2{{a}^{2}}-2 \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}-8a+4=4{{\left( a-1 \right)}^{2}}>0$

Suy ra ${{\left( 2{{a}^{2}}-2 \right)}^{2}}<4\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}-2a+2 \right)<{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}$, hay $\Delta '$ không là số chính phương, khi đó không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình

Với $-1\le x\le 2$:

TH1: $x=-1$, thay vào phương trình ta được: ${{y}^{2}}+2y=4y-1\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=1$

TH2: $x=0,$ thay vào phương trình ta được: ${{y}^{2}}+2y=7$, không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình

TH3: $x=1,$ thay vào phương trình ta được:

${y^2} + 2y = 4y + 15 \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 5\end{array} \right.$

TH4: $x=2,$ thay vào phương trình ta được: ${{y}^{2}}+2y=16y+23\Leftrightarrow {{y}^{2}}-14y-23=0$, không tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn phương trình

Vậy các cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn phương trình là $\left( -1;1 \right),\left( 1;-3 \right),\left( 1;5 \right)$.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $\left( {a;b} \right)$ thỏa mãn ${b^2} + 3a \vdots {a^2}b$

Xem lời giải

Câu hỏi:489983

Phương pháp giải

Sử dụng đánh giá, ta chặn được khoảng giá trị của $a$ , sau đó xét các trường hợp có thể xảy ra

Giải chi tiết

Đặt ${b^2} + 3a = k{a^2}b\left( {k \in \mathbb{N}*} \right) \Rightarrow b\left( {k{a^2} - b} \right) = 3a$

Đặt $k{a^2} - b = m\left( {m \in \mathbb{N}*} \right) \Rightarrow m + b = k{a^2}$ và $bm = 3a$

Có $\left( {m - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = mb - \left( {m + b} \right) + 1 = 3a - k{a^2} + 1$

Vì $m,b \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0$

Suy ra $3a - k{a^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow a\left( {ka - 3} \right) \le 1$

Nếu $ka \ge 5 \Rightarrow ka - 3 \ge 2 \Rightarrow a\left( {ka - 3} \right) \ge 2$

Suy ra $ka \le 4$, mà $a,k \in \mathbb{N}*$

TH1: $a = 4,k = 1 \Rightarrow {b^2} + 12 = 9b$, không tồn tại $b$ nguyên thỏa mãn

TH2: $a = 1,k = 4 \Rightarrow {b^2} + 3 = 4b \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 3\end{array} \right.$

TH3: $a = 3,k = 1 \Rightarrow {b^2} + 9 = 9b$, không tồn tại $b$ nguyên thỏa mãn

TH4: $a = 1,k = 3 \Rightarrow {b^2} + 3 = 3b$, không tồn tại nguyên thỏa mãn

TH5: $a = k = 2 \Rightarrow {b^2} + 6 = 8b$, không tồn tại $b$ nguyên thỏa mãn

TH6: $a=2,k=1\Rightarrow {{b}^{2}}+6=4b,$ không tồn tại $b$ nguyên thỏa mãn

TH7: $a=1,k=2\Rightarrow {{b}^{2}}+3=2b,$ không tồn tại $b$ nguyên thỏa mãn

TH8: $a = k = 1 \Rightarrow {b^2} + 3 = b$, không tồn tại nguyên thỏa mãn

Vậy $\left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1;1 \right),\left( 1;3 \right) \right\}$.

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link