Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A = 60^\circ \). Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(r\) nội tiếp

Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A = 60^\circ \). Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(r\) nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với các cạnh \(BC,AB,AC\) lần lượt tại \(D,E,F\). Đường thẳng \(ID\) cắt \(EF\) tại \(K\), đường thẳng qua \(K\) song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) theo thứ tự tại \(M,N\).

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh tứ giác \(IEAF\) nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi:490020

Phương pháp giải

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

Giải chi tiết

Tứ giác \(IEAF\) có \(\angle AEI + \angle AFI = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \Rightarrow IEAF\) là tứ giác nội tiếp

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Chứng minh hai tam giác \(IMN\) và \(IEF\) đồng dạng.

Xem lời giải

Câu hỏi:490021

Phương pháp giải

Sử dụng các tứ giác nội tiếp để bắc cầu góc

Giải chi tiết

Tứ giác \(IKME\) có \(\angle IKM + \angle IEM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \Rightarrow IKMN\)là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle IEF = \angle IMN\,\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác \(INFK\) có \(\angle IFN = \angle IKN = 90^\circ \)

\( \Rightarrow INFK\)là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle IFE = \angle INM\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra hai tam giác \(IMN\) và \(IEF\) đồng dạng

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(IMN\) theo \(r\).

Xem lời giải

Câu hỏi:490022

Phương pháp giải

Với gợi ý từ câu b) sử dụng tính chất: Với hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Giải chi tiết

\(\Delta IMN \sim \Delta IEF \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta IMN}}}}{{{S_{\Delta IEF}}}} = {\left( {\frac{{IM}}{{IE}}} \right)^2} \Rightarrow {S_{\Delta IMN}} = {S_{\Delta IEF}}.{\left( {\frac{{IM}}{{IE}}} \right)^2}\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(IA\) và \(FE\), có \(IA\) là trung trực của \(EF\) nên \(H\) là trung điểm của \(EF.\)

Vì \(\angle EAF = 60^\circ \Rightarrow \angle EIF = 120^\circ \Rightarrow \angle EIH = 60^\circ \Rightarrow IH = IE.\cos 60^\circ = \frac{r}{2}\)

\(EH = IE\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}r \Rightarrow EF = r\sqrt 3 \)

\({S_{\Delta IEF}} = \frac{1}{2}IH.FE = \frac{1}{2}.\frac{r}{2}.r\sqrt 3 = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Xét \(\Delta IME\) vuông tại \(E\) suy ra \(IM \ge IE \Rightarrow \frac{{IM}}{{IE}} \ge 1\)

\({S_{\Delta IMN}} = {S_{\Delta IEF}}.{\left( {\frac{{IM}}{{IE}}} \right)^2} \ge {S_{\Delta IEF}} = \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(IMN\) là \(\frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\), xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều.

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link