Một sợi dây mảnh đàn hồi rất dài được căng ngang. Đầu O của sợi dây bắt đầu dao động

Câu hỏi số 490553:

Vận dụng cao

Một sợi dây mảnh đàn hồi rất dài được căng ngang. Đầu O của sợi dây bắt đầu dao động tại thời điểm \(t = 0\) theo phương trình \({u_O} = 2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\) (trong đó t tính bằng s) tạo thành sóng hình sin lan truyền trên dây với bước sóng bằng 24 cm. Hai phần tử trên dây tại M và N có vị trí cân bằng cách O những đoạn \(OM = 12\,\,cm;\,\,ON = 16\,\,cm\). Kể từ \(t = 0\) đến thời điểm mà ba phần tử trên dây tại O, M, N thẳng hàng lần thứ 4 thì khoảng cách giữa M và N là

A. 4,00 cm.

B. 4,47 cm.

C. 5,11 cm.

D. 4,08 cm.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490553

Phương pháp giải

Phương trình sóng cơ học: \(u = a\cos \left( {\omega t + \varphi - \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)\)

Sử dụng máy tính bỏ túi để tổng hợp hai dao động điều hòa

Ba điểm O, M, N thẳng hàng: \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {MN} \)

Giải chi tiết

Phương trình dao động của các điểm O, M, N là:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_O} = 2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\\{u_M} = 2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{2\pi .12}}{{24}}} \right) = 2\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\\{u_N} = 2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{2\pi .16}}{{24}}} \right) = 2\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_M} - {u_O} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\\{u_N} - {u_M} = 2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Tọa độ các điểm O, M, N là:

\(O\left( {0;{u_O}} \right);\,\,M\left( {12;{u_M}} \right);\,\,N\left( {16;{u_N}} \right)\)

Ba điểm O, M, N thẳng hàng, ta có: \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {MN} \)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \left( {12;{u_M} - {u_O}} \right)\\\overrightarrow {MN} = \left( {4;{u_N} - {u_M}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{12}}{4} = \dfrac{{{u_M} - {u_O}}}{{{u_N} - {u_M}}} = 3\\ \Rightarrow 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 3.2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Giải phương trình (1) ta có: \(\omega t = ar\cos \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {76} }} + \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

O, M, N thẳng hàng lần thứ 4, ta có:

\(\begin{array}{l}k = 4 \Rightarrow \omega t = ar\cos \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {76} }} + \dfrac{\pi }{2} + 4\pi = ar\cos \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {76} }} + \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow {u_N} - {u_M} = 2\cos \left( {ar\cos \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {76} }} + \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right) \approx - 0,795\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Khoảng cách giữa hai điểm M, N là:

\(d = \sqrt {M{N^2} + {{\left( {{u_N} - {u_M}} \right)}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 0,795} \right)}^2}} \approx 4,08\,\,\left( {cm} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.