Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho cả ba số $4{a^2} + 5b;4{b^2} + 5c;4{c^2} + 5a$ đều

Câu hỏi số 490576:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho cả ba số $4{a^2} + 5b;4{b^2} + 5c;4{c^2} + 5a$ đều là bình phương của số nguyên dương.

A. $a = b = c=2$

B. $a = b = c=1$

C. $a = b = c=4$

D. $a = b = c=3$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490576

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý kẹp

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=\max \left\{ a;b;c \right\}.$ Ta có:

${{\left( 2a \right)}^{2}}<4{{a}^{2}}+5b<{{\left( 2a+2 \right)}^{2}}\Rightarrow 4{{a}^{2}}+5b={{\left( 2a+1 \right)}^{2}}\Rightarrow 5b=4a+1$

Chứng minh tương tự:$5c\ge 4b+1=\frac{16a+9}{5}\,\,\,\text{hay}\,\,a\le \frac{25c-9}{16}<2c.$ Từ đó:

${{\left( 2c \right)}^{2}}<4{{c}^{2}}+5a<{{\left( 2c+3 \right)}^{2}}$

Nên ta phải có $4{{c}^{2}}+5a\in \left\{ {{\left( 2c+1 \right)}^{2}},{{\left( 2c+2 \right)}^{2}} \right\}.$ Từ đây, xét hai trường hợp:

TH1: Nếu $4{{c}^{2}}+5a={{\left( 2c+1 \right)}^{2}}$ thì $5a=4c+1$ và do $a\ge c$ nên trong trường hợp này thì $a=b=c=1$

TH2: Nếu $4{{c}^{2}}+5a={{\left( 2c+2 \right)}^{2}}$ thì $5a=8c+4.$ Khi đó,

$16a=\frac{128}{5}c+\frac{64}{5}>25c\ge 16a+9$(vô lý)

Vậy $a = b = c=1$

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link