Từ một bộ $4$ số thực $\left( {a,b,c,d} \right)$ ta xây dựng bộ số mới \(\left( {a + b,b + c,c +

Câu hỏi số 490577:

Vận dụng cao

Từ một bộ $4$ số thực $\left( {a,b,c,d} \right)$ ta xây dựng bộ số mới $\left( {a + b,b + c,c + d,d + a} \right)$ và liên tiếp xây dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau, ta thu được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng $\left( a;-a;a;-a \right)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490577

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý bất biến

Giải chi tiết

Giả sử ở thời điểm thứ $n$ ta thu được bộ số $\left( {{a}_{n}};{{b}_{n}},{{c}_{n}},{{d}_{n}} \right)$ và nếu đặt ${{S}_{n}}={{a}_{n}}+{{b}_{n}}+{{c}_{n}}+{{d}_{n}}$ thì ${{S}_{n}}=2{{S}_{n-1}}\Rightarrow {{S}_{n}}={{2}^{n}}{{S}_{0}}$ với ${{S}_{0}}=a+b+c+d$

Vì tồn tại hai thời điểm ta thu được cùng một số nên ${{S}_{0}}=0$ kéo theo ${{S}_{n}}=0$ với mọi $n\in \mathbb{N}.$ Nếu đặt ${{P}_{n}}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}+d_{n}^{2}$ thì

${{P}_{n+1}}=2{{P}_{n}}+2\left( {{a}_{n}}+{{c}_{n}} \right)\left( {{b}_{n}}+{{d}_{n}} \right)=2{{P}_{n}}+2S_{n-1}^{2}=2{{P}_{n}}\left( \forall n\ge 1 \right)$

$\Rightarrow {{P}_{n}}={{2}^{n-1}}{{P}_{1}}\left( \forall n\ge 2 \right)$

Cũng vì tồn tại hai thời điểm thu được hai bộ số giống nhau nên ${{P}_{1}}=0$

$\Rightarrow {{a}_{1}}={{b}_{1}}={{c}_{1}}={{d}_{1}}=0$.

Điều đó có nghĩa toàn bộ số ban đầu phải là $\left( a,-a,a,-a \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link