Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $\angle BAC < {90^0}.$ Gọi $P$ là giao điểm của $BE$ với

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $\angle BAC < {90^0}.$ Gọi $P$ là giao điểm của $BE$ với trung trực của $BC.$ Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $AB.$ Gọi $Q$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $AP.$ Gọi giao điểm của $EQ$ và $PK$ là $F$.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng $4$ điểm $A,E,P,F$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi:490579

Giải chi tiết

Ta có $\angle PAE=\angle PAK=\angle EFK\Rightarrow AEPF$ là tứ giác nội tiếp

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Gọi giao điểm của $KQ$ và $PE$ là $L.$ Chứng minh rằng $LA\bot LE$.

Xem lời giải

Câu hỏi:490580

Giải chi tiết

Điểm $A$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ nên theo định lý về đường thẳng Simson, hình chiếu vuông góc của $A$ trên 3 cạnh của tam giác $PEF$ thẳng hàng

Do $K,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $PF,PE,KQ$ cắt $PE$ tại $L$ nên $AL\bot PE$

Câu hỏi số 3:

Vận dụng cao

Gọi giao điểm của $FL$ và $AB$ là $S$. Gọi giao điểm của $KE$và $AL$ là $T$. Lấy $R$ là điểm đối xứng với $A$ qua $L$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AST$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPR$ tiếp xúc với nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi:490581

Giải chi tiết

Ta có một bổ đề sau

Bổ đề: Cho tam giác $ABC.$ Đường cao $AD,P$ là điểm bất kỳ trên $AD.$$BP,CP$ cắt $AC,AB$lần lượt tại $E$và $F$. Khi đó $DA$ là phân giác $\angle EDF$.

Chứng minh: Qua $A$ kẻ đường song song với $BC,$ cắt $DE,DF$tại $X$ và $Y$

Ta có: $\frac{AX}{DC}=\frac{AE}{EC};\frac{AY}{DB}=\frac{AF}{FB}$ mà $\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=1$(định lý Ceva) nên $AX=AY$

Lại có $AD\bot XY\Rightarrow DA$ là phân giác $\angle EDF$

Trở lại bài toán : Ta có:

$\angle KLE=\angle QLE=\angle QAK=\angle EFK\Rightarrow ELFK$ là tứ giác nội tiếp

Gọi $T'$ là giao của hai đường thẳng qua $S$ song song với $BC$, với $AL$

Ta có: $(angle AT'S=\angle APL=\angle AKL$nên tứ giác $SLT'K$ nội tiếp

Suy ra $\angle LKT'=\angle LST'=\angle LFE=\angle LKE$

Suy ra $K,E,T'$ thẳng hàng . Từ đó $T'\equiv T$

Gọi $Y$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $AC,BY$ cắt $\left( AKP \right)$ tại $X$, cắt $AL$ tại $T''$

Ta có $PY=PK\Rightarrow LP$ là phân giác của $\angle KLY$

Mà $BL\bot AT''$ nên theo bổ đề trên, $K,E,T''$ thẳng hàng nên $T''\equiv T$

Ta có $\angle AXT=\angle APY=\angle APK=\angle ABC=\angle AST$ nên $X\in \left( AST \right)$

$\angle PXB=\angle PAY=\angle PAB=\angle PRB\Rightarrow X\in \left( BPR \right)$

Do $\angle AXP={{90}^{0}}=\angle ATX+\angle PBX$ nên kẻ tiếp tuyến $Xt$ của $\left( AST \right)$ thì $Xt$ cũng là tiếp tuyến của $\left( BPR \right).$Vậy $\left( AST \right)$tiếp xúc với $\left( BPR \right)$ tại $X$.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link