Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) và \(m
Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) và \(m \in \left[ { - 2021;2021} \right]\) để phương trình \(\log \dfrac{{f\left( x \right)}}{{m{x^2}}} + x\left[ {f\left( x \right) - mx} \right] = m{x^3} - f\left( x \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Tìm điều kiện xác định.
Chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ đó viết được dạng của \(f'\left( x \right)\) và \(f\left( x \right)\)
Biến đổi phương trình ban đầu về hàm đặc trưng.
Chuyển điều kiện bài toán ban đầu về điều kiện của hàm đặc trưng.
Điều kiện: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{m{x^2}}} > 0 \Rightarrow m > 0\)
Ta nhận thấy \(f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \( - 1,0,1\) nên \(y' = f'\left( x \right) = ax({x^2} - 1) \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{a}{4}{x^4} - \dfrac{a}{2}{x^2} + b\) và đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua hai điểm \(A(0;4)\) và \(B(1;3)\) nên \(f\left( x \right)\) có dạng: \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 4\)
Ta có:
\(\log \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{m{x^2}}}} \right) + x\left( {f\left( x \right) - mx} \right) = m{x^3} - f\left( x \right) \Leftrightarrow \log \left( {f\left( x \right)} \right) + xf\left( x \right) + f\left( x \right) = \log \left( {m{x^2}} \right) + m{x^3} + m{x^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log \left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( x \right).\left( {x + 1} \right) = \log \left( {m{x^2}} \right) + m{x^2}(x + 1)\\ \Leftrightarrow \log \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {x + 1} \right) = \log \left( {\left( {x + 1} \right)m{x^2}} \right) + m{x^2}(x + 1)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(h(t) = \log t + t\,(t > 0) \Rightarrow h'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 10}} + 1 > 0\)
Suy ra \(h(t)\) là hàm đơn điệu trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó \(\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)m{x^2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 4}}{{{x^2}}} = {\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 6\)
Đặt \(a = x + \dfrac{2}{x}.\) Với hai số nguyên dương \(x,\dfrac{2}{x}\) ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x + \dfrac{2}{x} \ge 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow m = {a^2} - 6,\,a \ge 2\sqrt 2 \)
Nhận thấy, mỗi giá trị của \(a > 2\sqrt 2 \) sẽ cho tương ứng hai giá trị của \(x > 0\)
Do đó, đặt \(g(a) = {a^2} - 6,\,a > 2\sqrt 2 \)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình \(m = {a^2} - 6\) có một nghiệm \(a > 2\sqrt 2 \) khi \(m > 2.\) Kết hợp điều kiện \(m \in \left[ { - 2021;2021} \right]\) ta có \(2019\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
