Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x - 4y} \right) = 1\). Tính \(P =

Câu hỏi số 491722:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x - 4y} \right) = 1\). Tính \(P = x.y\) khi biểu thức \(S = 4x + 3y - 5\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(P = \dfrac{{52}}{{25}}\)

B. \(P = - \dfrac{{13}}{{25}}\)

C. \(P = \dfrac{{13}}{{25}}\)

D. \(P = - \dfrac{{52}}{{25}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:491722

Giải chi tiết

Sưu tầm Toanmath

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y > 0\\{x^2} + {y^2} + 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\{x^2} + {y^2} \ne 0\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x - 4y} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 2x - 4y = {x^2} + {y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(S = 4x + 3y + 5 = 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 7\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right)} \right]^2} \le \left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right] = 25.4 = 100\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) \le 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 7 \le 3\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y + 2}}{3}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta giải được \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{13}}{5};\,\,y = - \dfrac{4}{5}\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{3}{5};\,\,y = - \dfrac{{22}}{5}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy khi đó \(P = xy = - \dfrac{{52}}{{25}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.