Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn\(\left\{

Câu hỏi số 492008:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128}\\{{{\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)}^2} = 4 + {{\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492008

Giải chi tiết

Hệ phương trình đã cho tương đương

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128}\\{{{\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)}^2} - {{\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)}^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}} = 7}\\{x{y^2}{z^4} = 1}\end{array}} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có:

\(7 = \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}}\)

\( = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}}\)

\( \ge 7\sqrt[7]{{\sqrt[3]{{{x^2}}}.{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)}^4}}} = 7\sqrt[{21}]{{{{\left( {x{y^2}{z^4}} \right)}^2}}} = 7\)

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = {y^2} = z\^2}\\{x{y^2}{z^4} = 1}\end{array}} \right.\).

Dễ thấy \(x > 0\) và từ phương trình thứ hai ta có \({x^7} = 1\) hay \(x = 1\). Suy ra \(y = \pm 1\), \(z = \pm 1\).

Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là \(\left( {1;1;1} \right)\), \(\left( {1;1; - 1} \right)\), \(\left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(\left( {1; - 1;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.