Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Câu hỏi số 492010:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\left| {z + 3 - i} \right|\) lần lượt là:

A. 7 và -3

B. 7 và 3

C. 6 và 3

D. 8 và 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492010

Giải chi tiết

Cách 1: Phương pháp đại số

Ta có:

\(\left| {z + 3 - i} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right) + \left( {4 - 3i} \right)} \right| \le \left| {z - 1 + 2i} \right| + \left| {4 - 3i} \right| = 7\).

\(\left| {\left( {z - 1 + 2i} \right) + \left( {4 - 3i} \right)} \right| \ge \left| {\left| {z - 1 + 2i} \right| - \left| {4 - 3i} \right|} \right| = 3\)

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\left| {z + 3 - i} \right|\) bằng 7 và 3.

Cách 2: Phương pháp hình học

\(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z - \left( {1 - 2i} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow MI = 2\) với \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1; - 2} \right),\,\,R = 2\\M\left( {x;y} \right)\end{array} \right.\).

\(\left| {z + 3 - i} \right| = \left| {z - \left( { - 3 + i} \right)} \right| = MA\) với \(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {x;y} \right)\\A\left( { - 3;1} \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}M{A_{\min }} = \left| {IA - R} \right| = \left| {\sqrt {{4^2} + {3^2}} - 2} \right| = 3\\M{A_{\max }} = IA + R = \sqrt {{4^2} + {3^2}} + 2 = 7\end{array}\)

Cách 3: Phương pháp lượng giác hóa

\(\begin{array}{l}\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2,\,\,z = x + yi\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{x - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{y + 2}}{2}} \right)^2} = 1\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\sin \alpha \\y + 2 = 2\cos \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\sin \alpha + 1\\y = 2\cos \alpha - 2\end{array} \right.\). Thay vào

\(\begin{array}{l}P = \left| {z + 3 - i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2\sin \alpha + 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2\cos \alpha - 2 - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2\sin \alpha + 4} \right)}^2} + {{\left( {2\cos \alpha - 3} \right)}^2}} \end{array}\)

Sử dụng TABLE \( \Rightarrow {P_{\max }} = 7,\,\,{P_{\min }} = 3\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.