Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận

Câu hỏi số 492171:

Vận dụng

Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương, đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f'\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 3 \right)\) bằng:

A. \(2\)

B. \(6\)

C. \(3\)

D. \(9\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492171

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^4}f\left( x \right) - 2{x^5}f'\left( x \right) = - {f^3}\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}f\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right)}}{{{f^3}\left( x \right)}} = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}{f^2}\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{f^4}\left( x \right)}} = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^3}} \right)'{f^2}\left( x \right) - {x^3}\left[ {{f^2}\left( x \right)} \right]'}}{{{f^4}\left( x \right)}} = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right]' = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\dfrac{{{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{1}{x} + C\).

Mà \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{1} = 1 + C \Leftrightarrow C = 0\), do đó \(\dfrac{{{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2}\).

Vậy \(f\left( 3 \right) = 9\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.