Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a,AD = 2a;SA\)vuông góc với đáy

Câu hỏi số 492859:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a,AD = 2a;SA\)vuông góc với đáy \(ABCD\), \(SC\) hợp với đáy một góc \(\alpha \) và \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

A. \(\dfrac{a}{3}\)

B. \(\dfrac{{2a}}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492859

Phương pháp giải

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng a’ và \(a.\)

Giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + \left( {2{a^2}} \right)} = a\sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\\ \Rightarrow \tan \angle SCA = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow SA = a\sqrt 2 \end{array}\)

Ta có \(AB\parallel CD,\,CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow {d_{\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}} = {d_{\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}\)

Kẻ \(AH \bot SD;\,H \in \,SD\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\\CD \bot AD\end{array} \right.\, \Rightarrow CD \bot AH\)

Mà \(AH \bot SD\, \Rightarrow AH \bot \,\left( {SCD} \right)\, \Rightarrow {d_{\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}} = AH\)

Mà \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3} \Rightarrow {d_{\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.