Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;2;\, - 3} \right)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 492890:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;2;\, - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x + 2y - z + 9 = 0.\)Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4z + 5 = 0\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(B\). Điểm \(M\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), nhìn đoạn \(AB\) dưới góc vuông và độ dài \(MB\) lớn nhất. Tính độ dài \(MB\).

A. \(MB = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).

B. \(MB = \sqrt 5 \)

C. \(MB = \sqrt {41} \).

D. \(MB = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:492890

Phương pháp giải

Lập luận để chỉ ra \(MB\) lớn nhất khi \(MA\) nhỏ nhất.

Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM\) là \(AE\) với \(E\) la fhifnh chiếu của \(A\) trên \(\left( P \right).\)

Tìm tọa độ điểm \(E\) từ đó tính được \(MB.\)

Giải chi tiết

Ta có \(M{B^2} = A{B^2} - M{A^2}\)

Nên MB lớn nhất khi MA nhỏ nhất

Gọi E là hình chiếu của A lên \(\left( P \right)\)

Ta có \(AM \ge AE\) khi M trùng với E

khi đó \(\min MA = AE\)

đường thẳng d đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 4} \right)\) làm vecto chỉ phương

nên phương trình đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = - 3 - 4t\end{array} \right.\)

nên \(B\left( {1 + 3t;2 + 4t; - 3 - 4t} \right)\) mà \(B \in \left( P \right)\,\, \Rightarrow t = - 1\, \Rightarrow B\left( { - 2; - 2; - 1} \right)\)

phương trình đường thẳng AE là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\)

mà \(E \in d'\) nên

\(\begin{array}{l}E\left( { - 1 + 2t;2 + 2t; - 3 - t} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow t = - 2\\ \Rightarrow E\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\end{array}\)

Khi đó \(MB = BE = \sqrt 5 \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.