Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)}
Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right).\) Gía trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + 2y\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right) \)
\( \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right){\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {\log _3}\left( {y + 1} \right) = \frac{9}{{y + 1}} - {x^2}\\
\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \frac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right) + 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {{\log }_3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \frac{9}{{y + 1}} + {{\log }_3}\frac{1}{{y + 1}} + {{\log }_3}9}\\
{ \Leftrightarrow {{\log }_3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = {{\log }_3}\frac{9}{{y + 1}} + \frac{9}{{y + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}
\end{array}\)
Xét hàm số đặc trưng: \({\log _3}t + t,\,\,t > 0\)\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall \,t > 0\)
Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó: \({x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{{y + 1}} - 2\).
\(P = \dfrac{9}{{y + 1}} + 2y - 2,\,\,y > 0\)
\(P' = - \dfrac{9}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 1 = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\\y + 1 = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\\y = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\end{array} \right.\)
Mà điều kiện \(x,y > 0\) nên \(y = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \( - 4 + 6\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
