Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(x,\,\,y\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2;10}

Câu hỏi số 494277:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(x,\,\,y\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2;10} \right]\) và thỏa mãn \({2^x} + y \le {\log _2}\left( {x - y} \right)\)?

A. 6

B. 7

C. 5

D. 8

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494277

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{2^x} + y \le {\log _2}\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow {2^x} + x \le x - y + {\log _2}\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow {2^x} + x \le {2^{{{\log }_2}\left( {x - y} \right)}} + {\log _2}\left( {x - y} \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(f\left( x \right) \le f\left( {{{\log }_2}\left( {x - y} \right)} \right) \Leftrightarrow x \le {\log _2}\left( {x - y} \right) \Leftrightarrow {2^x} \le x - y\).

Do \(x,\,\,y \in \left[ { - 2;10} \right] \Rightarrow x - y \le 12 \Rightarrow {2^x} \le 12\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow - 2 \le x \le 3 \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Ta có: \(y \le x - {2^x}\) nên:

Với:

\(\begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y \le - \dfrac{9}{4}\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - 1 \Rightarrow y \le - \dfrac{3}{2} \Rightarrow y = - 2\\x = 0 \Rightarrow y \le - 1 \Rightarrow y \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\\x = 1 \Rightarrow y \le - 1 \Rightarrow y \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\\x = 2 \Rightarrow y \le - 2 \Rightarrow y = - 2\\x = 3 \Rightarrow y \le - 5\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.