Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Câu hỏi số 494417:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to t} \dfrac{{xf\left( t \right) - tf\left( x \right)}}{{{x^2} - {t^2}}} = 1\) với mọi \(t > 0.\) Biết rằng \(f\left( 1 \right) = 1,\) tính \(f\left( e \right)\).

A. \(\dfrac{{3e + 1}}{2}\)

B. \(3e\)

C. \(2e\)

D. \( - e\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494417

Giải chi tiết

Sử dụng Lopitan ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to t} \dfrac{{xf\left( t \right) - tf\left( x \right)}}{{{x^2} - {t^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to t} \dfrac{{f\left( t \right) - tf'\left( x \right)}}{{2x}} = \dfrac{{f\left( t \right) - tf'\left( t \right)}}{{2t}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - xf'\left( x \right)}}{{2x}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - xf'\left( x \right)}}{{2{x^2}}} = \dfrac{1}{x}\\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - xf'\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{x} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).x - f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{x}\end{array}\)

\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{1} = - 2\ln 1 + C \Rightarrow C = 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - 2x\ln x + x\)

\(f\left( e \right) = - 2e\ln e + e = - e\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.