Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 4cm\), \(AB = 3cm\), \(BC = 5cm\).

Câu hỏi số 496362:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 4cm\), \(AB = 3cm\), \(BC = 5cm\). Tính \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right)\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt {34} }}{{17}}\).

B. \(\dfrac{{6\sqrt {34} }}{{34}}\).

C. \(\dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\).

D. \(\dfrac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\).\(\dfrac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496362

Giải chi tiết

Tính \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\)?

Cách 1:

* Mô hình: \(AB = 3;AC = 4;BC = 5 \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\).

* \(DA \bot (ABC) \Rightarrow A\)là chân đường cao \( \Rightarrow \)Bài toán 3 nét dựng

+) Nét 1: Kẻ \(AK \bot BC\)

+) Nét 2: Nối \(DK\)

+) Nét 3: Kẻ \(AH \bot DK\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = AH\)

* Tính \(AH\): \(AH = \dfrac{{DA.AK}}{{\sqrt {D{A^2} + A{K^2}} }}\)

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}DA = 4\\AK = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{3.4}}{{\sqrt {{3^2} + {4^4}} }} = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4.\dfrac{{12}}{5}}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\)

Cách 2: Ghi nhớ công thức nhanh của tam diện \( \bot \)

Cho \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\),

\(ABC\)là \(\Delta \bot \)tại \(A\) \( \Rightarrow \) tại đỉnh \(A\) có 3 góc vuông

\( \Rightarrow \) Gọi \(S.ABC\) là \(\Delta \) diện \( \bot \) đỉnh \(A\)

\( \Rightarrow \) \(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {A;SBC} \right)}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

Chứng minh:

* Ta có \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\)

* \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}}\) mà \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)(đpcm)

Áp dụng giải bài 8

Tứ diện \(S.ABC\) là \(\Delta \) diện \( \bot \) tại đỉnh \(A\)

\( \Rightarrow \) Không cần dựng khoảng cách ta áp dụng công thức khoảng cách trong \(\Delta \) diện \( \bot \) ta có:

\(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)=\(\dfrac{1}{{{4^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{d^2}\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{17}}{{12}}\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.