Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 4cm\), \(AB = 3cm\), \(BC = 5cm\).

Câu hỏi số 496362:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AC = AD = 4cm\), \(AB = 3cm\), \(BC = 5cm\). Tính \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right)\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt {34} }}{{17}}\).

B. \(\dfrac{{6\sqrt {34} }}{{34}}\).

C. \(\dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\).

D. \(\dfrac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\).\(\dfrac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496362

Giải chi tiết

Tính \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\)?

Cách 1:

* Mô hình: \(AB = 3;AC = 4;BC = 5 \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\).

* \(DA \bot (ABC) \Rightarrow A\)là chân đường cao \( \Rightarrow \)Bài toán 3 nét dựng

+) Nét 1: Kẻ \(AK \bot BC\)

+) Nét 2: Nối \(DK\)

+) Nét 3: Kẻ \(AH \bot DK\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = AH\)

* Tính \(AH\): \(AH = \dfrac{{DA.AK}}{{\sqrt {D{A^2} + A{K^2}} }}\)

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}DA = 4\\AK = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{3.4}}{{\sqrt {{3^2} + {4^4}} }} = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4.\dfrac{{12}}{5}}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\)

Cách 2: Ghi nhớ công thức nhanh của tam diện \( \bot \)

Cho \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\),

\(ABC\)là \(\Delta \bot \)tại \(A\) \( \Rightarrow \) tại đỉnh \(A\) có 3 góc vuông

\( \Rightarrow \) Gọi \(S.ABC\) là \(\Delta \) diện \( \bot \) đỉnh \(A\)

\( \Rightarrow \) \(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {A;SBC} \right)}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

Chứng minh:

* Ta có \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\)

* \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}}\) mà \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)(đpcm)

Áp dụng giải bài 8

Tứ diện \(S.ABC\) là \(\Delta \) diện \( \bot \) tại đỉnh \(A\)

\( \Rightarrow \) Không cần dựng khoảng cách ta áp dụng công thức khoảng cách trong \(\Delta \) diện \( \bot \) ta có:

\(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)=\(\dfrac{1}{{{4^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{d^2}\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{17}}{{12}}\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.