Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(AB = BC = a\), \(AD =

Câu hỏi số 497271:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm \(H\) của \(AD\). Biết \(SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\), khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

A. \(d = \dfrac{{3a}}{4}\)

B. \(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

C. \(d = \dfrac{{3a\sqrt 6 }}{4}\)

D. \(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{8}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497271

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC//HD\\BC = HD\end{array} \right. \Rightarrow BCDH\) là hình bình hành \( \Rightarrow BH//CD \Rightarrow BH//\left( {SCD} \right)\).

Do đó \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\) ta có:

\(ABCH\) là hình vuông nên \(CH = AB = a = HD\) \( \Rightarrow \Delta HCD\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow HI \bot CD\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HI\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot CD\\HK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Tam giác \(HCD\) vuông cân có \(HC = HD = a\) nên \(HI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHI\) ta có: \(HK = \dfrac{{SH.HI}}{{\sqrt {S{H^2} + H{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{2{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.