Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xf\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = 1\) và \(\int\limits_e^{{e^2}}

Câu hỏi số 497915:

Vận dụng cao

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xf\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = 1\) và \(\int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx} = 2\). Khi đó \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^4 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \) bằng:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:497915

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số và tính chất tích phân.

Giải chi tiết

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xf\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = 1\).

Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\cos x\sin xdx = - 2{\cos ^2}x\tan xdx\)

\( \Rightarrow \tan xdx = - \dfrac{{dt}}{{2{{\cos }^2}x}} = - \dfrac{{dt}}{{2t}}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\dfrac{1}{t}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 1 \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 2\).

Xét \(J = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx} = 2\).

Đặt \(t = {\ln ^2}x \Rightarrow dt = 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = \dfrac{{2{{\ln }^2}x}}{{x\ln x}}dx\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{x\ln x}}dx = \dfrac{{dt}}{{2{{\ln }^2}x}} = \dfrac{{dt}}{{2t}}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = e \Rightarrow t = 1\\x = {e^2} \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow J = \int\limits_1^4 {f\left( t \right).\dfrac{1}{{2t}}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 4\).

Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^4 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} + \int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 2 + 4 = 6\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.